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高中数学函数的单调性和最值习题和详解


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高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解

一、选择题 1.已知 f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在[a,b]内( )

A.至少有一实数根

B.至多有一实数根

C.没有实数根

D.有唯一实数根

[答案] D [解析] ∵函数 f(x)在[a,b]上是单调减函数, 又 f(a),f(b)异号.∴f(x)在[a,b]内有且仅有一个零点,故选 D.

2.(2010·北京文)给定函数①y=x12,②y=log12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递

减的函数的序号是( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

[答案] B

[解析] 易知 y=x12在(0,1)递增,故排除 A、D 选项;又 y=log12(x+1)的图象是由 y=log12x 的图象向左平移

一个单位得到的,其单调性与 y=log12x 相同为递减的,所以②符合题意,故选 B.

3.(2010·济南市模拟)设 y1=0.413,y2=0.513,y3=0.514,则(

)

A.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 [答案] B

B.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2

[解析]

∵y=0.5x

1

1

为减函数,∴0.53<0.54,

1
∵y=x3在第一象限内是增函数,

1

1

∴0.43<0.53,∴y1<y2<y3,故选 B.

4.(2010·广州市)已知函数??? a- x-1 x≤1 ??logax x>1

围为( )

A.(1,2)

B.(2,3)

C.(2,3]

D.(2,+∞)

[答案] C

[解析] ∵f(x)在 R 上单调增,

,若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范

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?? a>1

∴?a-2>0



?? a-

-1≤loga1

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∴2<a≤3,故选 C. 5.(文)(2010·山东济宁)若函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≥0

B.a≤0

C.a≥-4

D.a≤-4

[答案] D [解析] ∵函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,∴当 x∈(0,1)时,f ′(x)=2x+2+ax=2x2+x2x+a

≤0,∴g(x)=2x2+2x+a≤0 在 x∈(0,1)时恒成立, ∴g(0)≤0,g(1)≤0,即 a≤-4.

(理)已知函数 y=tanωx 在???-π2 ,π2 ???内是减函数,则 ω 的取值范围是(

)

A.0<ω≤1

B.-1≤ω<0

C.ω≥1

D.ω≤-1

[答案] B

[解析] ∵tanωx 在???-π2 ,π2 ???上是减函数, ∴ω<0.当-π2 <x<π2 时,有

-π2 ≤π2ω<ωx<-π2ω≤π2 ,

??π2 ω≥-π2 ?∴ -π2 ω≤π2 ??ω<0

,∴-1≤ω<0.

6.(2010·天津文)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )

A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D.b<a<c

[答案] D [解析] ∵1>log54>log53>0,∴log53>(log53)2>0,而 log45>1,∴c>a>b. 7.若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值范围是( )

A.(-∞,0]

B.[-2,2]

C.{2}

D.[2,+∞)

[答案] C

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[解析] f ′(x)=3x2-6a,

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若 a≤0,则 f ′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除 A;

若 a>0,则由 f ′(x)=0 得 x=± 2a,当 x<- 2a和 x> 2a时,f ′(x)>0,f(x)单调增,当- 2a<x< 2a时,

f(x)单调减,

∴f(x)的单调减区间为(- 2a, 2a),从而 2a=2,

∴a=2.

[点评] f(x)的单调递减区间是(-2,2)和 f(x)在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分.

8.(文)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(13)=0,则适合不等式 f(log217x)>0 的 x 的取

值范围是( )

A.(3,+∞)

B.(0,13)

C.(0,+∞)

D.(0,13)∪(3,+∞)

[答案] D

[解析] ∵定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(13)=0,则由 f(log217x)>0,得|log217x|>13,

即 log217x>13或 log217x<-13.选 D. (理)(2010·南充市)已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x=0 和 x=1,且在 x∈[-1,0]上 f(x)单调递增,设 a=

f(3),b=f( 2),c=f(2),则 a、b、c 的大小关系是( )

A.a>b>c

B.a>c>b

C.b>c>a

D.c>b>a

[答案] D

[解析] ∵f(x)在[-1,0]上单调增,f(x)的图象关于直线 x=0 对称,

∴f(x)在[0,1]上单调减;又 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

∴f(x)在[1,2]上单调增,在[2,3]上单调减.

由对称性 f(3)=f(-1)=f(1)<f( 2)<f(2),

即 a<b<c.

9.(2009·天津高考)已知函数 f(x)=?????x42x+-4xx2,,xx≥<00,. 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

[答案] C

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[解析] ∵x≥0 时,f(x)=x2+4x=(x+2)2-4 单调递增,且 f(x)≥0;当 x<0 时,f(x)=4x-x2=-(x-2)2 +4 单调递增,且 f(x)<0,∴f(x)在 R 上单调递增,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,∴-2<a<1.
10.(2010·泉州模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在 [a,b]上有( )
A.最小值 f(a) B.最大值 f(b) C.最小值 f(b) D.最大值 f???a+2 b??? [答案] C [解析] 令 x=y=0 得,f(0)=0, 令 y=-x 得,f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x). 对任意 x1,x2∈R 且 x1<x2,, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2)>0,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[a,b]上最小值为 f(b). 二、填空题 11.(2010·重庆中学)已知函数 f(x)=ax+bx-4(a,b 为常数),f(lg2)=0,则 f(lg12)=________. [答案] -8 [解析] 令 φ(x)=ax+bx,则 φ(x)为奇函数,f(x)=φ(x)-4, ∵f(lg2)=φ(lg2)-4=0,∴φ(lg2)=4, ∴f(lg12)=f(-lg2)=φ(-lg2)-4 =-φ(lg2)-4=-8. 12.偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,且 f(x)在[-2,k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为 3,则 k =________. [答案] 3 [解析] ∵偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增. 因此,若 k≤0,则 k-(-2)=k+2<3,若 k>0,∵f(x)在[-2,0]上单调减在[0,-k]上单调增,∴最小值为 f(0),又在[-2,k]上最大值点与最小值点横坐标之差为 3,∴k-0=3,即 k=3. 13.函数 f(x)=axx+-31在(-∞,-3)上是减函数,则 a 的取值范围是________.
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[答案] ???-∞,-13???

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[解析] ∵f(x)=a-3xa++31在(-∞,-3)上是减函数,∴3a+1<0,∴a<-13.

14.(2010·江苏无锡市调研)设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,

若 f???12???=0,f(logat)>0,则 t 的取值范围是______. [答案] (1, 1 )∪(0, a) a

[解析] f(logat)>0,即 f(logat)>f???12???, ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴logat>12,

∵0<a<1,∴0<t< a.

又 f(x)为奇函数,∴f???-12???=-f???12???=0, ∴f(logat)>0 又可化为 f(logat)>f???-12???, ∵奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,

∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,∴0>logat>-12,

∵0<a<1,∴1<t< 1 , a

综上知,0<t< a或 1<t< 1 . a

三、解答题 15.(2010·北京市东城区)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值集合. [解析] (1)要使 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义,则

??x+1>0 ???1-x>0

,解得-1<x<1.

故所求定义域为{x|-1<x<1}.

(2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},

且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故 f(x)为奇函数.

(3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,

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所以 f(x)>0?x1+ -1x>1.

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解得 0<x<1.

所以使 f(x)>0 的 x 的取值集合是{x|0<x<1}.

16.(2010·北京东城区)已知函数 f(x)=loga1x--m1x是奇函数(a>0,a≠1).

(1)求 m 的值;

(2)求函数 f(x)的单调区间;

(3)若当 x∈(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求实数 a 的值.

[解析]

(1)依题意,f(-x)=-f(x),即

f(x)+f(-x)=0,即

1-mx

1+mx

loga x-1 +loga-x-1=0,

∴1x--m1x·-1+x-mx1=1,∴(1-m2)x2=0 恒成立,

∴1-m2=0,∴m=-1 或 m=1(不合题意,舍去)

当 m=-1 时,由1x+ -x1>0 得,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),此即函数 f(x)的定义域,

又有 f(-x)=-f(x),

∴m=-1 是符合题意的解.

(2)∵f(x)=loga1x+ -x1,

∴f ′(x)=xx-+11???1x+ -x1???′logae

x-1 x- - x+

=x+1·

x- 2

logae=21l-ogxa2e

①若 a>1,则 logae>0 当 x∈(1,+∞)时,1-x2<0,∴f ′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减,

即(1,+∞)是 f(x)的单调递减区间;

由奇函数的性质知,(-∞,-1)是 f(x)的单调递减区间.

②若 0<a<1,则 logae<0 当 x∈(1,+∞)时,1-x2<0,∴f ′(x)>0,

∴(1,+∞)是 f(x)的单调递增区间;由奇函数的性质知,(-∞,-1)是 f(x)的单调递增区间.

(3)令 t=1x+ -x1=1+x-2 1,则 t 为 x 的减函数

∵x∈(1,a-2),

∴t∈???1+a-2 3,+∞???且 a>3,要使 f(x)的值域为(1,+∞),需 loga???1+a-2 3???=1,解得 a=2+ 3.

17.(2010·山东文)已知函数 f(x)=lnx-ax+1-x a-1(a∈R).

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(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≤12时,讨论 f(x)的单调性. [解析] (1)a=-1 时,f(x)=lnx+x+2x-1,x∈(0,+∞). f ′(x)=x2+xx2-2,x∈(0,+∞), 因此 f ′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2+2)=x-2, 即 x-y+ln2=0. (2)因为 f(x)=lnx-ax+1-x a-1, 所以 f ′(x)=1x-a+a-x2 1=-ax2-xx+2 1-a x∈(0,+∞). 令 g(x)=ax2-x+1-a, ①当 a=0 时,g(x)=1-x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; ②当 a≠0 时,f ′(x)=a(x-1)[x-(1a-1)], (ⅰ)当 a=12时,g(x)≥0 恒成立,f ′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; (ⅱ)当 0<a<12时,1a-1>1>0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; x∈(1,1a-1)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; x∈(1a-1,+∞)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; ③当 a<0 时,1a-1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,有 f ′(x)<0,f(x)单调递减 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,有 f ′(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增; 当 a=12时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
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当 0<a<12时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,1a-1)上单调递增,在(1a-1,+∞)上单调递减. 注:分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚.
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