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2013版高中全程复习方略配套课件:2.11变化率与导数、导数的计算(数学文人教A版湖南专用)(共35张PPT)


第十一节 变化率与导数、导数的计算

三年12考 高考指数:★★★ 1.了解导数概念的实际背景; 2.理解导数的几何意义; 3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y= 1
x
的导数; 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数.

1.导数的几何意义是考查重点; 2.导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不 单独命题,常在考查导数应用的同时进行考查. 3.题型以选择题和填空题为主,在解答题中会渗透导数的运算.

1.导数的定义及几何意义 (1)定义:函数在x0处的平均变化率 ?y,当Δ x→0时的极限
?x
(即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0) 或y′|x=x0,即__f_?(_x_0 )_?__?lxi_m?_0_f_(_x_0 _?_?_?x_x)_?_f_(_x_0 )___.
(2)几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点P(x0,y0)处的_切__线__的__斜__率___.

【即时应用】 (1)思考:f′(x)与f′(x0)有何区别? 提示:f′(x)是x的函数,f′(x0)只是f′(x)的一个函数值. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是________. 【解析】∵y′=2x,∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案:2

(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是_____.

【解析】f′(e)=

1 |x=e=
x

1 ,∴所求的切线方程为y-f(e)
e

=f′(e)(x-e),即y-lne= 1 (x-e),化简得x-ey=0.

e

答案:x-ey=0

2.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=___0__;(c为常数)
(2)(xα )′=__α__x_α_-_1_;(α ∈Q*)
(3)(sinx)′=__c_o_s_x___;
(4)(cosx)′=__-_s_i_n_x__;
(5)(ex)′=___e_x _;
(6)(ax)′=___a_xl_n_a__(a>0);
1
(7)(lnx)′=____x___;
1
(8)(logax)′=___x_ln_a__(a>0且a≠1).

【即时应用】

(1)y=x-5,则y′=___________.

(2)y=4x,则y′=___________.

(3)y=log3x,则y′=________.

(4)y= sin ?,则y′=________.
3

答案:(1)-5x-6

(2)4xln4

(3) 1
xln3

(4)0

3.导数的运算法则
若y=f(x),y=g(x)的导数存在,则 (1)[f(x)±g(x)]′=__f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)__; (2)[f(x)·g(x)]′=__f_′__(_x_)_g_(_x_)_+_f_(_x_)_g_′__(_x_)_;
f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x)
(3)[ f ?x ? ]′=________?g_(_x_)_?2______(g(x)≠0).
g(x)

【即时应用】 (1)y=x3+sinx,则y′=____________. (2)y=x4-x2-x+3,则y′=___________. (3)y=(2x2+3)·(3x-2),则y′=_________. (4)f(x)= ex ,则f′(x)=_________.
x
【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx. (2)y′=4x3-2x-1.

(3)y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′

=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.

或:y=6x3-4x2+9x-6,y′=18x2-8x+9.

(4)f′(x)=

exx ? ex x2

?

ex (x ?1) x2 .

答案:(1)3x2+cosx

(2)4x3-2x-1

(3)18x2-8x+9

(4) ex (x ?1)
x2

导数的运算 【方法点睛】求函数的导数的方法 (1)总原则:先化简解析式,再求导. (2)具体方法 ①连乘积的形式:先展开化为多项式形式,再求导. ②根式形式:先化为分数指数幂,再求导. ③复杂分式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差,再 求导.

【例1】(1)(2011·江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)

>0的解集为( )

(A)(0,+∞)

(B)(-1,0)∪(2,+∞)

(C)(2,+∞)

(D)(-1,0)

(2)求下列函数的导数.

①y=x2sinx;

②y= ex ?1;
ex ?1

【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数,再解分式不等式.

(2)①利用积的导数法则;②利用商的导数法则或先化简分式

再求导.

【规范解答】(1)选C.f′(x)=2x-2- 4 >0,即 x2 ? x ? 2 >0,

x

x

∵x>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2.

(2)①y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.

②方法一:

y′= (ex ?1)?(ex ?1) ? (ex ?1)(ex ?1)?
(ex ?1)2

=ex (ex

?1) ? (ex (ex ?1)2

? 1)e x

?

?2ex (ex ?1)2 .

方法二:∵y=

ex ?1? 2 ex ?1

?

1

?

2 ex ?

1

,

∴y′=1′+(

2 ex ?1

)′,即y′=

?2ex (ex ?1)2 .

【反思·感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的 运算法则,根据所给函数解析式的特点,确定求导方法.

导数的几何意义 【方法点睛】导数几何意义的应用 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下 几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值: k=f′(x0); (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;

(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需
设出切点A(x0,f(x0)),利用k= f (x1) ? f (x0) 求解.
x1 ? x0
【提醒】审题时注意所给点是否是切点.

【例2】(1)(2011·湖南高考)曲线y= sinx
sinx ? cosx

?1 2

在点M(

?, 4

0)

处的切线的斜率为( )

(A) ? 1
2

(B) 1
2

(C) ? 2
2

(D) 2
2

(2)(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y

轴交点的纵坐标是( )

(A)-9

(B)-3

(C)9

(D)15

【解题指南】利用导数的几何意义,(1)可以直接求出切线斜率;

(2)先求出切线方程,得到与y轴交点的纵坐标.

【规范解答】(1)选B.

y′= cosx(sinx ? cosx) ? sinx(cosx ? sinx)
(sinx ? cosx)2

=

1 (sinx ? cosx)2 ,

所以

y?

|
x

?

?

?

4

1 (sin ? ? cos ?)2

?

1. 2

44

(2)选C.∵y′=3x2,∴切线斜率为3,∴切线方程为y=3x+9,与

y轴交点的纵坐标是9.

【反思·感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想,由割线 →切线,由两个不同的公共点无限接近→重合(切点). 2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时,一定要抓住 切点的多面性:在曲线上、在切线上,该点处的导数是切线斜 率.

【易错误区】导数几何意义应用的易错点

【典例】(2012·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线

y=x3和y=ax2+ 15 x -9都相切,则a等于( )

4

(A)-1或 ? 25

(B)-1或 21

64

4

(C) ? 7 或
4

? 25 64

(D) ? 7 或7
4

【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上,所以应从设切点

入手来求切线方程,再利用切线与曲线y=ax2+ 15 x -9相切求a
4
的值.

【规范解答】选A.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),

所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03,又(1,0)在

切线上,则x0=0或x0=

3, 2

当x0=0时,由y=0与y=ax2+

15 4

x

-9相

切可得a=

? 25, 当x0=
64

3 2

时,由y= 27 x ? 27 与y=ax2+ 15 x -9相

44

4

切可得a=-1,所以选A.

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下
误区警示和备考建议:
在解答本题时有两个易错点: 误 (1)审题不仔细,未对点(1,0)的位置进行判断,误 区 警 认为(1,0)是切点; 示 (2)当所给点不是切点时,无法与导数的几何意义联
系.

解决与导数的几何意义有关的问题时,以下几点在
备 备考时要高度关注: 考 (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键; 建 (2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌 议 握;
(3)对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练掌握.

1.(2011·重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为

()

(A)y=3x-1

(B)y=-3x+5

(C)y=3x+5

(D)y=2x

【解析】选A.由y′=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切

线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.

2.(2012·深圳模拟)已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是

f′(x),若a=f(7),b=f′( 1 ),c=f′( 1 ),则a、b、c的大小

2

3

关系是( )

(A)c<b<a

(B)a<b<c

(C)b<c<a

(D)b<a<c

【解析】选B.a=f(7)=ln7,又f′(x)= 1 ,故b=f′( 1 )? 1

x

21

=2,c=f′( 1 )= 1 =3,故c>b>a.

2

31

3

3.(2012·黔东南州模拟)函数f(x)=mx3+(m+1)x2+x+2,若f′(1)

=18,则m=( )

(A)4

(B)3

(C)5

(D)6

【解析】选B.∵f′(x)=3mx2+2(m+1)x+1,

∴f′(1)=3m+2m+2+1=18,∴m=3.

4.(2012·岳阳模拟)曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线

方程是( )

(A)y=7x+4

(B)y=7x+2

(C)y=x-4

(D)y=x-2

【解析】选D.∵f′(x)=4-3x2,

∴k切=4-3×(-1)2=1. 故所求切线方程为y=x-2.

5.(2012·长沙模拟)设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a

的值等于( )

(A) 19
3
(C) 13
3

(B) 16
3
(D) 10
3

【解析】选D.∵f′(x)=3ax2+6x,

∴f′(-1)=3a-6=4,故a ? 10 .
3



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