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北京市东城区2012年中考二模数学考试试题(WORD版)有答案


北京市东城区 2012 年中考二模数学考试试题(WORD 版)有答案

北京市东城区 2011--2012 学年第二学期初三综合练习(二)

数学试卷

1.本试卷共 5 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 考
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号. 生
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 须
4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 知
5.考试结束,请将本试卷、答题卡一并交回.

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.

1. 9 的算术平方根是

A.-9

B.9

C.3

D.±3

2. 如图,由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是

3. 下列运算正确的是

A. a2 ? a3 ? a5 B. a2 ? a3 ? a5 C. (ab2 )3 ? a3b3

D. a10 ? a2 ? a5

4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得朝上一面的点数为奇数的概率为

A. 1 6

B. 1 4

C. 1 3

D. 1 2

5. 如果一个多边形的内角和是其外角和的 2 倍,那么这个多边形是

A.六边形

B.五边形

C.四边形

D.三角形

6. 在社会实践活动中,某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查.四个城市 5 个月香蕉价格

的平均值均为 3.50 元,方差分别为 S甲2 =18.3, S乙2 =17.4, S丙2 =20.1, S丁2 =12.5.一至五月份香蕉价格最稳定的

城市是 A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

7. 如图,在平行四边形 ABCD中, E 为 AD 的中点, △DEF 的周长为 1,则△BCF 的周长为

A.1 B.2 C.3 D.4

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8. 如右图,正方形 ABCD的顶点 A(0, 2 ) , B( 2 , 0) ,

2

2

顶点 C、D 位于第一象限,直线 l : x ? t(0 ? t ? 2) 将正

方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面
积为 S ,则 S 关于 t 的函数图象大致是

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

9. 使二次根式 4x ?1 有意义的 x 的取值范围是



10. 一个扇形的圆心角为 120°,半径为 1,则这个扇形的弧长为



11. 观察下列等式: 1=1,

2+3+4=9,

3+4+5+6+7=25,

4+5+6+7+8+9+10=49,

……

照此规律,第 5 个等式为



12. 如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,⊙O 的半径为 2,以圆心 O 为顶点作 ∠MON,

使∠MON=90°,OM、ON 分别与⊙O 交于点 E、F,与正方形 ABCD 的边交于点 G、H, 则由 OE、OF、⌒ EF 及

正方形 ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积 S=



三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

13. 计算: 27 ? (4 ? ?)0 ? 6cos30 ? ? 2 .

14.

解方程组

?2x ? ??x ? y

y ? 1, ? 2.

15. 已知:如图,∠ABC=∠DCB,BD、CA 分别是∠ABC、∠DCB

求证:AB=DC.

的平分线.

16.

先化简,再求值:

???1?

1 x

? ??

?

x2

? 2x ?1 x2 ?1

,其中

x

?

?2



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17. 列方程或方程组解应用题: 小明家有一块长 8m、宽 6m 的矩形空地,现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分),并使花园
面积为空地面积的一半,小明设计了如图的方案,请你帮小明求出图中的 x 值. 18. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 与反比例函数 y ? k 的图像交于点 A(-3,4),AC⊥ x 轴于点 C.
x
(1)求此反比例函数的解析式;
(2)当直线 AB 绕着点 A 转动时,与 x 轴的交点为 B(a,0), 并与反比例函数 y ? k 图象的另一支还有一个交点的情形下,求△ ABC 的面积 S x 与 a 之间的函数关系式.并写出自变量 a 的取值范围.
四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.在母亲节来临之际,某校团委组织了以“学会生存,感恩父母”为主题的教育活动,在学校随机调查了若干名同学
平均每周在家做家务的时间,统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图:

组别 做家务的时间

频数

频率

A

1≤t<2

B

2≤t<4

C

4≤t<6

3

0.06

20

c

a

0.30

B

C

A

E D

D

6≤t<8

8

b

E

t≥8

4

0.08

根据上述信息回答下列问题:

(1)a=

,b=

;

(2)在扇形统计图中,B 组所占圆心角的度数为

;

(3)全校共有 1000 名学生,估计该校平均每周做家务时间不少于 4 小时的学生约有多少人?

20. 如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 5, BC ? 8, AE ? BC 于点 E , cosB ? 3 ,求 tan ?CDE 的值. 5

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21.如图,在矩形 ABCD 中,点 O 在对角线 AC 上,以 OA 长为
半径的⊙O 与 AD,AC 分别交于点 E,F,∠ACB=∠DCE . (1)请判断直线 CE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 DE:EC=1: 2 , BC ? 2 ,求⊙O 的半径.

22. 阅读并回答问题:
小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天他在解方程 x2 ? ?1 时,突发奇想: x2 ? ?1 在实数

范围内无解,如果存在一个数 i,使 i2 ? ?1,那么当 x2 ? ?1 时,有 x ? ? i,从而 x ? ? i 是方程 x2 ? ?1 的两个

根.

据此可知:(1) i 可以运算,例如:i3=i2·i=-1×i=-i,则 i4=



i2011=______________,i2012=__________________;

(2)方程 x2 ? 2x ? 2 ? 0 的两根为

(根用 i 表示).

五.解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)

23. 已知关于 x 的方程 (1? m)x2 ? (4 ? m)x ? 3 ? 0 .

(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围;

(2) 若正整数 m 满足 8 ? 2m ? 2,设二次函数 y ? (1? m)x2 ? (4 ? m)x ? 3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,将此

图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象 回答:当直线 y ? kx ? 3 与此图象恰好有三个公共点时,求出 k 的值(只需要求出两个满足题意的 k 值即可).

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24. 已知:等边 ?ABC 中,点 O 是边 AC,BC 的垂直平分线的交点,M,N 分别在直线 AC, BC 上,且 ?MON ? 60 .
(1) 如图 1,当 CM=CN 时, M、N 分别在边 AC、BC 上时,请写出 AM、CN 、MN 三者之间的数量关系; (2) 如图 2,当 CM≠CN 时,M、N 分别在边 AC、BC 上时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请你加以
证明;若不成立,请说明理由; (3) 如图 3,当点 M 在边 AC 上,点 N 在 BC 的延长线上时,请直接写出线段 AM、CN 、MN 三者之间的数量
关系.
25.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知二次函数 y ? ax2 +2ax ? c 的图像与 y 轴交于点 C(0, 3) ,与 x 轴交于 A、 B 两点,点 B 的坐标为 (-3, 0)
(1) 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标;
(2)点 M 是第二象限内抛物线上的一动点,若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1:2 的两部分,求出此时点 M
的坐标;
(3) 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点,问:点 P 在何处时△ CPB 的面积最大?最大面积是多少?并求出 此
时点 P 的坐标.
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数学试卷参考答案

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)

题号

1

2

3

4

5

6

答案

C

D

B

D

A

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)



9

10

11



答 x? 1

2?



43

5? 6 ? 7 ?8? 9 ?10 ?11?12 ?13 ? 81

三、解答题:(本题共 30 分,每小题 5 分)

7

8

B

C

12
? ?2

13.解:原式= 3 3 ?1? 6 ? 3 +2 4分 2
=1……5 分
14. 解: ① ? ② 得: 2x ? x ? 3 x ?1.……2 分
将 x ?1代入 ② 得:1? y ? 2 ,

y ? 1……4 分

?x ?1

?? ?

y

?

?1

……5 分

15. 证明:∵ AC 平分∠BCD,BC 平分∠ABC ,

∴∠ACB ?∠DBC ……2 分

在 △ABC 与△DCB 中,
?∠A B C? ∠ D C B ??∠A C B? ∠ D B C ??B C? B C
?△ABC ≌△DCB ……4 分

? AB ? DC .……5 分

16.

解:原式=

x ?1 ? x

?x

? x ?1?2 ?1?? x ?1?

?

x ?1· x

?x

?1?? x ?1? ? x ?1?2

?

x

?1 x

……3



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当 x ? ?2 时,原式= ?2 ?1 ? 1 . ……5 分 ?2 2
17. 解:据题意,得 (8 ? x)(6 ? x) ? 1 ?8? 6 . 2
解得 x1 ? 12,x2 ? 2 .

x1 不合题意,舍去.

?x ? 2.

18.解: (1)∵4= k k ? ?12 ?3
∴ y ? ?12 ……2 分 x
(2)∵BC=a-(-3)=a+3 AC=4,

∴ S?ACB

?

1 ? 4? (a ? 3)
2

……4 分

=2a+6 (a>-3)……5 分

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)

19.解:(1) 15 , 0.16 ;……2 分

(2)144? ;……3 分

(3)1000?[(15 ? 8 ? 4) ? 50] ? 1000? 27 ? 540 (人)……5 分 50

答:该校平均每周做家务时间不少于 4 小时的学生约有 540 人

20.解:

在△ABE中, AE ? BC , AB ? 5, cosB

?

3 5

∴BE=3,AE=4.

∴EC=BC-BE=8-3=5.

∵平行四边形 ABCD, ∴CD=AB=5. ∴△CED 为等腰三角形.……2 分 ∴∠CDE=∠CED. ∵ AD//BC, ∴∠ADE=∠CED. ∴∠CDE=∠ADE. 在 Rt△ADE 中,AE=4,AD=BC=8,
?tan ?CDE ? 4 ? 1 . 82

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21.解:(1)直线 CE 与⊙O 相切
证明:∵矩形 ABCD , ∴BC//AD,∠ACB=∠DAC.
∵ ?ACB ? ?DCE,

∴ ?DAC ? ?DCE.……1 分

连接 OE,则 ?DAC ? ?AEO ? ?DCE.

?D C E? ? D E C?9 0 , ? ?A E O ? ?D E C9?0 . ? ?O E C ?9 0 . 分2 ∴直线 CE 与⊙O 相切.
(2) tan?ACB ? AB ? 2 , BC ? 2, BC 2
? AB ? BC ? tan ?ACB ? 2, AC ? 6. 3分 ?ACB ? ?DCE,
? tan?DCE ? 2 , 2
? DE ? DC ? tan?DCE ? 1. 在Rt?CDE中,CE ? 3. 4分 设⊙O的半径为r, 则在Rt?CE O中, CO2 ? CE 2? EO 2
即( 6-r)2 ? r2 ? 3, 解得 r ? 6 . 5分 4
22.解:(1) i4 ? 1, i2011 ? -i i2012 ? 1……3 分

(2)方程 x2 ? 2x ? 2 ? 0 的两根为 1+i 和 1-i

……5 分

五.解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)

23.解:(1) ? ? (4 ? m)2 ?12(1? m)

? (m ? 2)2 .……2 分

由题意得, (m ? 2)2 >0 且1? m ? 0 . ∴ 符合题意的 m 的取值范围是 m ? ?2且m ? 1的
数. ……3 分
(2)∵ 正整数 m 满足 8 ? 2m ? 2,
∴ m 可取的值为 1 和 2 .

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一切实

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又∵ 二次函数 y ? (1? m)x2 ? (4 ? m)x ? 3 ,

∴ m =2.……4 分

∴ 二次函数为 y ? -x2 ? 2x ? 3 .

∴ A 点、B 点的坐标分别为(-1,0)、(3,0). 依题意翻折后的图象如图所示. 由图象可知符合题意的直线 y ? kx ? 3 经过点 A、B.
可求出此时 k 的值分别为 3 或-1.……7 分 注:若学生利用直线与抛物线相切求出 k=2 也是符合题意的答案.
24. 解: (1) AM ? CN ? MN ……2 分 (2) AM ? CN ? MN ……3 分

证明:过点 O 作 OD ? AC,OE ? BC, 易得 OD ? OE, ?DOE ? 120 ,

在边 AC 上截得 DN’=NE,连结 ON’, ∵ DN’=NE,

OD=OE, ∠ODN’=∠OEN

??DON ' ? ?EON. ……4 分

∴ON’=OE. ∠DON’=∠NOE.
?DOE ? 120 , ?MON ? 60 ,
∴∠MOD+∠NOE=600. ∴∠MOD+∠DON’=600.

C

M D N'

N E
O

易证 ?MON ' ? ?MON .……5 分

A

B

∴MN’=MN.

? MN ? MD ? DN ' ? MD ? NE. MD ? AM ? AD ? AM ? CE, NE ? CE ? CN , ? MN ? ( AM ? CE) ? (CE ? CN ) ? AM ? CN, ? AM ? CN ? MN.

(3) MN ? CN ? AM.……7 分

25.解:(1)由题意,得:

?c ? 3, ??9a-6a

?

c

?


0.

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解得:

?a ?? c

? ?

-1, 3.

所以,所求二次函数的解析式为: y ? -x2 -2x ? 3 ……2 分

顶点 D 的坐标为(-1,4).……3 分 (2)易求四边形 ACDB 的面积为 9.
可得直线 BD 的解析式为 y=2x+6 设直线 OM 与直线 BD 交于点 E,则△OBE 的面积可以为 3 或 6.





S?OBE

=

1 3

?

9=3

时,

易得 E 点坐标(-2,-2),直线 OE 的解析式为 y=-x.

设 M 点坐标(x,-x),

-x ? -x2 -2x ? 3.

x1

?

-1-213(舍),x2

?

-1 ? 2

13

.

∴ M (-1? 13 ,-1? 13 ).

2

2

……4 分

y

D

M

C

E

B

OA x





S?OBE

=

1 3

?

9=6

时,同理可得

M

点坐标.

∴ M 点坐标为(-1,4)……5 分
(3)连接 OP ,设 P 点的坐标为 ?m, n? ,因为点 P 在抛物线上,所以 n ? ?m2 ? 2m ? 3 ,

所以 S△CPB ? S△CPO ? S△OPB ? S△COB ……6 分

? 1 OC ? (?m) ? 1 OB ? n ? 1 OC ?OB

2

2

2

? ?3 m ?3 n ?9 ?3? n ?m 3??
2 2 22

? ? ? ? 3 2

m2 ? 3m

?

?

3? 2 ??

m

?

3?2 2 ??

?

2.7 8

……7 分

因 为 ?3 ? m<0, 所 以 当 m ? ? 3 时 , n ? 15 . △ CPB 的 面 积 有 最 大 值 y

2

4

所以当点 P 的坐标为 (? 3 , 15) 时,△ CPB 的面积有最大值,且最大值 24

MD

27 . ……8 分 8 为 27 .
8
C

B 10 / 10

OA x



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