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(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积_图文


§8.2 空间几何体的表面积与体积

内容索引

基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时训练

基础知识 自主学习

知识梳理

1.多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 所有侧面的

面积之和

,表面积是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱

圆锥

侧面展开图
2πrl

πrl

π(r1+r2)l

侧面积公式 S圆柱侧=______

S圆锥侧=_____ S圆台

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积



几何体

Sh

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积=S侧+2S底

1 3Sh

V=

锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台)

S表面积=S侧V+=13S(S底上+S 下+ S上S下)hV=

4πR2
S表面积=S侧+S上+S下

43πR3



S=______

V=_

知识拓展
1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则 2R= 3a; ②若球为正方体的内切球,则 2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R, 则2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( × ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( × ) (6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的 侧面积是2πS.( × )

考点自测

1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半

圆,则底面圆的半径为 答案 解析

A.1 cm C.3 cm

B.2 cm 3 2

D. cm

S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π, ∴r2=4,∴r=2 cm.

2.(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面

的表面积为 答案 解析

A.12π

32 B. 3 π

C.8π

D.4π

由题意可知正方体的棱长为 2,其体对角线 2 3即为球的直径,

所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π,故选A.

3.(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的表面积是__8_0_cm2,体积是_4_0_cm3.
答案 解析
由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体 组合而成,上面正方体的棱长为2 cm,下面长方体 的底面边长为4 cm,高为2 cm,其直观图如图所示, 其表面积S=6×22+2×42+4×2×4 -2×22=80(cm2),体积V=2×2×2 +4×4×2=40(cm3).

4. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1,P为侧棱B1B 2
上的一点,则四棱锥P-ACC1A1的体积为___3___.
答案 解析
设点P到平面ABC,平面A1B1C1的距离分别为h1,h2, 则棱柱的高为h=h1+h2,
又记S=S△ABC=S△ A1B1C1 ,则三棱柱的体积为V=Sh=1.
而从三棱柱中去掉四棱锥 P-ACC1A1 的剩余体积为 V′=VP-ABC+VP-A1B1C1=13Sh1+13Sh2=13S(h1+h2)=13, 从而VP-ACC1A1=V-V′=1-13=23.

题型分类 深度剖析

题型一 求空间几何体的表面积

例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所

示,则该多面体的表面积为 答案 解析

A.21+ 3

B.18+ 3

C.21

D.18

由几何体的三视图可知,该几何体的直观图如图所示, 因此该几何体的表面积为 6×(4-12)+2× 43×( 2)2=21+ 3.故选 A.

(2)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都 相等,则该六棱锥的侧面积为___1_2____. 答案 解析
设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h′. 由题意,得13×6×12×2× 3×h=2 3, ∴h=1, ∴斜高 h′= 12+? 3?2=2, ∴S 侧=6×12×2×2=12.

思维升华
空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几 何体中各元素之间的位置关系及数量. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部 分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

跟踪训练1 (2016·大连模拟)如图所 示的是一个几何体的三视图,则该几 何体的表面积为_2_6__. 答案 解析
该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体 的长,宽,高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所 以 表 面 积 为 S = S 长 方 体 表 - 2S 半 圆 柱 底 - S 圆 柱 轴 截 面 + S 半 圆 柱 侧 = 2×4×1 + 2×1×2+2×4×2-π×12-2×1+1×2π×1=26.
2

题型二 求空间几何体的体积

命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积

例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所

示,则该几何体的体积为 答案 解析

A.13+23π

B.13+

2 3π

C.13+

2 6π

D.1+

2 6π

命题点2 求简单几何体的体积 例3 (2016·江苏改编) 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成, 上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD- A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4 倍.若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积为___3_1_2__m3. 答案 解析

思维升华
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直 接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分 割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观 图,然后根据条件求解.

跟踪训练2 (1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面
都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图 3
如图所示,则该三棱锥的体积是___3_____.
答案 解析

由题意可知,因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形,

由正视图可得俯视图(如图),且三棱锥高为h=1,

则体积 V=13Sh=13×(12×2

3×1)×1=

3 3.

(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1

的 正 方 形 , 且 △ADE , △BCF 均 为 正 三 角 形 ,

EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 答案 解析

2 A. 3

3 B. 3

4

3

C.3

D.2

题型三 与球有关的切、接问题

例4 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB =3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 答案 解析

3 17 A. 2

B.2 10

13

C. 2

D.3 10

引申探究 1.已知棱长为4的正方体,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?
解答
由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径, 正方体的棱长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4, 故其体对角线长为 4 3, 从而 V 外接球=43πR3=43π×(2 3)3=32 3π,V 内切球=43πr3=43π×23=323π.

2.已知棱长为a的正四面体,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表 面积S2的比值为多少? 解答

正四面体的表面积为 S1=4·43·a2= 3a2,

其内切球半径 r 为正四面体高的14,

即 r=14·36a=126a,

因此内切球表面积为

S2=4πr2=π6a2,则SS12=

π3aa22=6

π

3 .

6

3.已知侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥,则其外接球的半径是多少?
解答
依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2=6, 高为 ?3 2?2-?12×6?2=3, 因此底面中心到各顶点的距离均等于3, 所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的 半径为3.

思维升华
空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截 面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知 识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂 直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球 内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.

跟踪训练3 (1)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一 个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是



32π

A.4π

B. 2

C.6π

D. 3

答案 解析

由题意知,底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3, 所以球的最大直径为 3,V 的最大值为92π.

(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2, 则该球的表面积为 答案 解析

81π A. 4

B.16π

C.9π

27π D. 4

如图,设球心为O,半径为r,

则在 Rt△AOF 中,(4-r)2+( 2)2=r2, 解得 r=94, ∴该球的表面积为 4πr2=4π×(94)2=841π.

思想与方法系列 17

巧用补形法解决立体几何问 题

典例 (2016·青岛模拟) 如图,在△ABC中,AB=8,BC

=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=

3,FC=4,AE=5,则此几何体的体积为___9_6____.

思想方法指导 答案 解析

解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重

要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置

于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见

的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原补形,主要涉及

台体中“还台为锥”,将不规则的几何体补成规则的几何体等.

课时训练

1.(2017·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所

示,则该几何体的表面积为 答案 解析

A.12+4 2 C.28

B.18+8 2
√D.20+8 2

由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱,该直三棱柱的底面是腰长 为2的等腰直角三角形、侧棱长为4, 所以表面积为12×2×2×2+4×2×2+4×2 2=20+8 2,故选 D.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2.(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示,

且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体

积为 答案 解析

?4+π? 3 A. 3
?8+π? 3 C. 3

?8+π? 3
√B. 6
D.(4+π) 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3.(2015·山东)在梯形ABCD中,∠ABC=

π 2

,AD∥BC,BC=2AD=2AB

=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何

体的体积为 答案 解析

2π A. 3

4π B. 3

√C.53π

D.2π

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4.(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示,则该

四面体的表面积是 答案 解析

A.1+ 3 C.1+2 2

√B.2+ 3
D.2 2

由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图,如图所示, ∴该四面体的表面积为 S 表=2×12×2×1+2× 43×( 2)2 =2+ 3,故选 B.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5.(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体

的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直

径组成的图形,则此几何体的体积是 答案 解析

20 A. 3 π

B.6π

√C.130π

16 D. 3 π

该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体, 所以 V=12×π×4×1+12×13×π×4×2=130π.故选 C.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6.(2016·福建三明一中第二次月考) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上, AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形, 则侧面ABB1A1的面积为 答案 解析

√A. 2

2 B. 2

C.2

D.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

7.(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示, 3
则该四棱柱的体积为__2__. 答案 解析
由三视图知该四棱柱为直四棱柱, 底面积 S=?1+22?×1=32,高 h=1, 所以四棱柱体积 V=S·h=32×1=32.
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8.已知四面体ABCD满足AB=CD= 6, AC=AD=BC=BD=2,则四面 体ABCD的外接球的表面积是__7_π__. 答案 解析
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9.(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为__3_π__. 答案 解析
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10.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的 9
球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为__3_2__. 答案 解析
设等边三角形的边长为2a,球O的半径为R,
则 V 圆锥=13·πa2· 3a= 33πa3. 又 R2=a2+( 3a-R)2,所以 R=233a, 故 V 球=43π·(233a)3=32273πa3, 则其体积比为392.
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11.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积; 解答
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(2)如果点P,Q在正视图中所示位置,P为所在线段中点,Q为顶点, 求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长. 解答
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12.(2016·全国 丙 卷 ) 如 图 , 四 棱 锥P — ABCD 中, PA⊥ 底 面 ABCD , AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM= 2MD,N为PC的中点. (1)证明:MN∥平面PAB; 证明
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(2)求四面体NBCM的体积. 解答
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*13.(2017·浙江七校联考)如图所示,在空间几何体ADE-BCF中,四边 形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF, AD⊥DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M是线段AE上的动点. 解答 (1)试确定点M 的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;
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(2)在(1)的条件下,平面MDF将几何体ADE-BCF分成两部分,求空间 几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积之比. 解答
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